天大《数值计算方法》2017年6月考试期末大作业

李老师

数值计算方法
要求：
一、        独立完成，下面已将五组题目列出，请任选一组题目作答，满分100分；
二、答题步骤：
1.        使用A4纸打印学院指定答题纸（答题纸请详见附件）；
2.        在答题纸上使用黑色水笔按题目要求手写作答；答题纸上全部信息要求手写，包括中心、学号、姓名、科目、答题组数等基本信息和答题内容，请写明题型、题号；
三、提交方式：请将作答完成后的整页答题纸以图片形式依次粘贴在一个Word
    文档中上传（只粘贴部分内容的图片不给分），图片请保持正向、清晰；
1.        上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.doc”
2.        文件容量大小：不得超过10MB。
提示：未按要求作答题目的作业及雷同作业，成绩以0分记！

题目如下：
第一组：
一、        论述题（共53分）
1、        （27分）
确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.（27分）
2、（26分）
叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？

二、计算题（共47分）
1、（30分）
用列主元消去法解线性方程组   

2、（17分）
已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式 及f (1，5)的近似值，取五位小数。



第二组：
一、        计算题（共100分）
1、        （25分）
用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组    = ，

取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。

2、        （26分）
用最小二乘法求形如 的经验公式拟合以下数据：
        19        25        30        38
        19.0        32.3        49.0        73.3

3、        （22分）
求A、B使求积公式 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求 (保留四位小数)。
4、        （27分）
已知
        1        3        4        5
        2        6        5        4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 的三次插值多项式 ，并求 的近似值（保留四位小数）。




第三组：
一、        简述题（共50分）
1、        （28分）
已知方程组 ，其中
，
列出Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
2、        （22分）
用牛顿法求方程 在 之间的近似根
（1）        请指出为什么初值应取2？
（2） 请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001。
二、计算题（29分）
用反幂法求矩阵 的对应于特征值 的特征向量

三、分析题（21分）
设
（1）写出解 的牛顿迭代格式
（2）证明此迭代格式是线性收敛的





第四组：
一、        计算题（共76分）
1、计算题（24分）
分别用梯形公式与Simpson公式计算 的近似值，并估计误差
2、计算题（25分）
取步长 ，求解初值问题 用改进的欧拉法求 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求 的值。
3、计算题（27分）
用雅可比法求 的特征值
二、简述题（24分）
设 讨论雅可比和塞德尔法的收敛性





第五组：
一、        计算题（共70分）
1、        计算题（26分）
以100,121,144为插值节点，用插值法计算 的近似值，并利用余项估计误差。
2、        计算题（20分）
用复化Simpson公式计算积分 的近似值，要求误差限为 。
                                                              
3、        计算题（24分）
用LU分解法求解线性方程组   
二、        简述题（30分）
请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？