天大《数值计算方法》2016年6月考试期末大作业

李老师

数值计算方法
要求：
1.         独立完成，作答时要写明题型、题号；
2.        作答方式：手写作答或电脑录入，使用A4格式白纸；
3.        提交方式：以下两种方式任选其一，
1)        手写作答的同学可以将作业以图片形式打包压缩上传；
2)        提交电子文档的同学可以将作业以word文档格式上传；
4.         上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.rar” 或“中心-学号-姓名-科目.doc”；
5.        文件容量大小：不得超过10MB。


请在以下五组题目中任选一组作答，满分100分。
第一组：
一、        简述题（共50分）
1、        （28分）
已知方程组 ，其中
，
列出Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
2、        （22分）
用牛顿法求方程 在 之间的近似根
（1）        请指出为什么初值应取2？
（2） 请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001。
二、计算题（29分）
用反幂法求矩阵 的对应于特征值 的特征向量

三、分析题（21分）
设
（1）写出解 的牛顿迭代格式
（2）证明此迭代格式是线性收敛的





第二组：
一、        计算题（共76分）
1、计算题（24分）
分别用梯形公式与Simpson公式计算 的近似值，并估计误差
2、计算题（25分）
取步长 ，求解初值问题 用改进的欧拉法求 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求 的值。
3、计算题（27分）
用雅可比法求 的特征值
二、简述题（24分）
设 讨论雅可比和塞德尔法的收敛性





第三组：
一、        计算题（共70分）
1、        计算题（26分）
以100,121,144为插值节点，用插值法计算 的近似值，并利用余项估计误差。
2、        计算题（20分）
用复化Simpson公式计算积分 的近似值，要求误差限为 。
                                                              
3、        计算题（24分）
用LU分解法求解线性方程组   
二、        简述题（30分）
请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？




第四组：
一、计算题（共48分）
1、（24分）
取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 的近似值（保留4位小数）。
2、（24分）
设 ，求      
二、        论述题（共52分）
1、（30分）
已知方程组 ，其中
，
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。
2、（22分）
数值积分公式  ，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精度是多少？




第五组：
计算题
1.        写出求解线性代数方程组   
  
的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。（28分）
2.
（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式 ；
（2）以0，1，2为求积节点，建立求积分 的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。（41分）
3.  利用Gauss变换阵，求矩阵 的LU分解。（要求写出分解过程）
（31分）