福师《实变函数》在线作业二

李老师

福师《实变函数》在线作业二
试卷总分：100   测试时间：--
一、判断题（共37道试题，共74分。）
1.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
2.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
4.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
5.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
6.测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
7.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
8.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
9.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
10.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分
11.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
满分：2分
12.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
13.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
14.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
满分：2分
15.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
17.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
B. 正确
满分：2分
18.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
19.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
20.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
21.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
22.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A. 错误
B. 正确
满分：2分
23.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
24.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
满分：2分
25.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
26.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
27.零测度集的任何子集都是可测集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
28.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
29.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
30.若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
31.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
32.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
33.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
34.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
B. 正确
满分：2分
35.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
36.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
37.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分
二、单选题（共5道试题，共10分。）
1.开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
满分：2分
2.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
满分：2分
3.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
满分：2分
4.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
满分：2分
5.下列关系式中不成立的是（ ）
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
满分：2分
三、多选题（共8道试题，共16分。）
1.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
满分：2分
2.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
满分：2分
3.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
满分：2分
4.若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
C. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
D. f∈Lip[a,b]
满分：2分
5.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
满分：2分
6.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
满分：2分
7.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
满分：2分
8.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
满分：2分
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